混合图形面积怎么算？

计算混合图形的面积是几何学中常见的问题,混合图形通常由基本几何图形（如三角形、矩形、圆形、梯形等）组合或拼接而成，其核心思路是将复杂图形分解为若干个简单图形，分别计算每个简单图形的面积，最后将各部分面积相加（或相减，若存在重叠或空洞部分），以下是详细的计算步骤、方法及示例说明。

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分解混合图形

首先需要观察混合图形的结构,通过辅助线（如分割线、延长线等）将其拆分为若干个基本图形，分解时应遵循以下原则：

一个由半圆和直角三角形组成的混合图形,可通过半圆的直径作为分割线，将其分解为半圆和直角三角形两部分。

根据分解后的基本图形类型,选择对应的面积公式进行计算，常见基本图形的面积公式如下表所示：

图形类型	面积公式	参数说明
矩形	( S = a \times b )	( a )、( b ) 为长和宽
三角形	( S = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} )	底与高对应
梯形	( S = \frac{1}{2} \times (a + b) \times h )	( a )、( b ) 为上底和下底，( h ) 为高
圆形	( S = \pi r^2 )	( r ) 为半径
扇形	( S = \frac{n}{360} \times \pi r^2 )	( n ) 为圆心角度数
半圆	( S = \frac{1}{2} \pi r^2 )	( r ) 为半径

示例1：计算一个由矩形和半圆组成的混合图形（如下图），已知矩形长为10 cm，宽为5 cm，半圆直径与矩形宽重合。

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分解：矩形 + 半圆。
矩形面积：( S_1 = 10 \times 5 = 50 \, \text{cm}^2 )。
半圆半径：( r = \frac{5}{2} = 2.5 \, \text{cm} )，面积：( S_2 = \frac{1}{2} \pi (2.5)^2 \approx 9.82 \, \text{cm}^2 )。
总面积：( S = S_1 + S_2 = 50 + 9.82 = 59.82 \, \text{cm}^2 )。

若混合图形中存在重叠区域或空洞,需采用“加法”或“减法”原则：

示例2：一个边长为8 cm的正方形内部有一个内切圆，计算剩余部分的面积。

正方形面积：( S_1 = 8 \times 8 = 64 \, \text{cm}^2 )。
内切圆半径：( r = \frac{8}{2} = 4 \, \text{cm} )，面积：( S_2 = \pi \times 4^2 \approx 50.27 \, \text{cm}^2 )。
剩余面积：( S = S_1 – S_2 = 64 – 50.27 = 13.73 \, \text{cm}^2 )。

对于无法直接分解的复杂混合图形,可采用坐标法（如鞋带公式）计算面积，步骤如下：

确定图形顶点的坐标（按顺时针或逆时针顺序排列）。
代入鞋带公式：
[
S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (xi y{i+1} – x_{i+1} yi) \right| \quad (\text{ \, x{n+1} = x1, y{n+1} = y_1)
]

示例3：一个四边形顶点坐标为 ( A(0,0) )、( B(3,0) )、( C(4,2) )、( D(1,3) )，计算其面积。

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代入公式：
[
S = \frac{1}{2} \left| (0 \times 0 + 3 \times 2 + 4 \times 3 + 1 \times 0) – (0 \times 3 + 0 \times 4 + 2 \times 1 + 3 \times 0) \right| = \frac{1}{2} \left| (0 + 6 + 12 + 0) – (0 + 0 + 2 + 0) \right| = \frac{1}{2} \times 16 = 8
]
面积为8平方单位。